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Emile Borel

Borel was a great mathematician who did work in measure theory and probability theory. He originated the idea of an infinite number of monkeys typing. This is the basis for physical infinity providing whatever conditions a mathematician desires somewhere in the universe. Although Borel's image was to show that such results were more likely than a gas departing significantly from thermodynamic equilibrium, as imagined by Ludwig Boltzmann and his critics..

Mathematical infinity is the basis for philosopher David Lewis's idea that any "possible" condition (indeed a whole universe) is "actual" (realized) somewhere. Cosmologist David Layzer has a similar theory for multiple realizations of any possible condition in the single infinite universe. And Arthur Stanley Eddington described perfect repetitions of his Messenger lectures given an infinite time.

Borel wrote an influential book on Chance (Le Hasard), which appeared in four editions between 1914 and 1948. Unlike many mathematicians, he argued that determinism was a "pure abstract fiction," because of the "indetermination" of the initial data. Borel made an oft-quoted calculation that a single gram of matter moved one centimeter in a distant star would be enough to randomize the motions in a terrestrial gas. This is now known as interventionism. Because no system is completely isolatable, the argument is that external interventions destroy the molecular correlations that are necessary for reversibility.

The representation of gaseous matter by a model, composed of molecules with positions and velocities which are rigorously determined at a given instant is therefore a pure abstract fiction... as soon as one supposes the indeterminacy of the external forces, the effect of collisions will very rapidly disperse the trajectory bundles which are supposed to be infinitely narrow, and the problem of the subsequent movement of the molecules becomes, within a few seconds, very indeterminate, in the sense that a colossal number of different possibilities are a priori equally probable.

This claim is absurd that a miniscule conservative gravitational force coming from outside the theoretically isolated container of gas will change the evolution of the gas from completely deterministic and reversible to indeterministic and irreversible within a few seconds.

First, the gravitational force of 1 gm of matter at Sirius' distance of 8.6 light years is 10-12 of the force of just one other atom in a 1 liter volume of gas. Second, the angular rate of change of the nearby atom is of the order of 1 radian in 10-8 seconds, whereas the 1 cm/sec at the Sirius distance is only 10-18 radians per second, so the differential force is of order 10-26 weaker.

But third, and even more important, as long as the Hamiltonian including the remote gram of matter is still symmetric under time reversal, including the distant object makes absolutely no difference in the statistical mechanics.

Borel's idea has been used to claim that Joseph Loschmidt's reversibility objection to Boltzmann's H-Theorem could be easily invalidated. Of course, since the distant gram of matter moves in the opposite direction under time reversal - Borel's suggestion makes no difference.

In his 1964 book, Scientific Uncertainty and Information, Leon Brillouin cited Borel's 1914 Introduction géométrique a quelques théories physiques (p.94) as explaining how an external disturbance could randomize the motions of molecules in a terrestrial gas.

C. It is impossible to study the properties of a single (mathematical) trajectory. The physicist knows only bundles of trajectories, corresponding to slightly different initial conditions.
Note that it is Brillouin, not Borel, who suggests Sirius
Borel, for instance, computed that a displacement of 1 cm, on a mass of 1 gram, located somewhere in a not too distant star (say, Sirius) would change the gravitational field on the earth by a fraction 10-100. The present author went further and proved that any information obtained from an experiment must be paid for by a corresponding increase of entropy in the measuring device: infinite accuracy would cost an infinite amount of entropy increase and require infinite energy! This is absolutely unthinkable.

D. Let us simplify the problem, and assume that the laws of mechanics are rigorous, while experimental errors appear only in the determination of initial conditions. ln the bundle of trajectories defined by these conditions, some may be "nondegenerate" while others may "degenerate." The bundle may soon explode, be divided into a variety of smaller bundles forging ahead in different directions. This is the case for a model corresponding to the kinetic theory of gases. Borel computes that errors of 10-100 on initial conditions will enable one to predict molecular collisions for a split second and no more. It is not only "very difficult," but actually impossible to predict exactly the future behavior of such a model. The present considerations lead directly to Boltzmann's statistical mechanics and the so-called "ergodic" theorem.

It is clear that some authors quoting Borel (e.g., David Layzer, H. Dieter Zeh, Pine and Golub) with Sirius as the intervening star have not really read Borel. They have read Brillouin, without always citing him directly. Brillouin did not invent Sirius. Borel actually mentions Sirius, but not in the context of his "interventionist" explanation for the resolution of the Loschmidt reversibility objection and argument against the "fiction" of deterministic.
For Teachers
For Scholars
Le Hasard Second edition, 1924. Excerpts from chapter VI, The Physical Sciences, and chapter X, The Philosophical Importance of Chance.
Chapter VI, The Physical Sciences, sections 67 & 68, pp.178-182
Cherchons à évaluer, en partant de la loi de Newton sur l'attraction universelle, la déviation que ferait subir à une molécule, dans l'intervalle de deux chocs, le déplacement d'une masse extrêmement petite située à une très grande distance. Sous l'action de l'attraction terrestre un corps pesant tombe en une seconde de 5 mètres environ; en 10-10 seconde, il tombera d'une quantité 10-20 fois plus petite; si, au lieu du globe terrestre, nous considérons une petite sphère concentrique de même densité et dont les dimensions linéaires seraient 1017 fois plus faibles (la circonférence d'un grand cercle étant 4 dix-millionièmes de millimètre au lieu de 40 millions de mètres), la masse de cette sphère étant 1051 fois plus faible que celle de la terre, la déviation serait encore fois plus petite, soit 1020 X 1051 = 1071 fois plus petite. Transportons maintenant cette sphère minuscule au delà des extrémités de l'univers visible, en un point d'où la lumière met des milliards d'années pour nous parvenir, au lieu qu'elle mettrait un cinquantième de seconde pour venir du centre de la terre; la distance étant environ 1018 fois plus grande, l'attraction devient 1036 fois plus faible; la déviation est donc en définitive 1026 X 1071 = 10107 fois plus faible. Enfin, par un calcul analogue que j'omets, on aurait la valeur de la déviation qui correspondrait, non plus à l'action de la sphère minuscule placée à cette distance prodigieuse, mais au simple effet d'un déplacement d'un millionième de millimètre dans la position d'une telle sphère à une 'telle distance. Même en accumulant ainsi les hypothèses de nature à rendre l'action aussi faible que possible, on n'arrivera même pas à diviser la déviation par 10200, c'est-à-dire que les variations produites par une telle action dans la trajectoire d'une molécule sont colossalement grandes par rapport à ce qui nous a été nécessaire pour notre raisonnement:
This section translated above
La représentation d'une masse gazeuse par un modèle unique, formé de molécules dont les positions et les vitesses à un instant donné sont rigoureusement déterminées, est donc une pure fiction abstraite; on ne peut se rapprocher de la réalité qu'en imaginant un faisceau de modèles, c'est-à-dire en attribuant aux données initiales une certaine indétermination. Si faible que soit cette indétermination, si faible aussi que l'on suppose l'indétermination des forces extérieures, l'effet des chocs disperse très rapidement les faisceaux de trajectoires supposés infiniment déliés et le problème du mouvement ultérieur des molécules devient, en très peu de secondes, très indéterminé, en ce sens qu'un nombre colossalement grand de possibilités différentes sont a priori également probables. Bien entendu, en un instant précis, actuel, une seule de ces possibilités est réalisée, mais l'indétermination renaît aussi considérable dès que l'on se pose le problème de l'état à une époque future, même très voisine. La seule forme sous laquelle le problème puisse être posé et résolu est donc la forme statistique : le très grand nombre des éventualités possibles peut-il être séparé. en deux groupes très inégaux, toutes celles qui sont réunies dans le groupe le plus nombreux ayant certains caractères communs? C'est ainsi que si l'on envisage toutes les éventualités possibles pour la succession d'un milliard de parties de pile ou face, on peut constituer un premier groupe avec les cas où l'écart est inférieur à .000.000, où par conséquent le nombre de parties gagnées est compris entre 499.000.00o et 501.000.000, et un second groupe avec tous les autres cas. Le premier groupe étant extrêmement plus nombreux que le premier, il est infiniment vraisemblable que l'événement qui sera réalisé appartiendra à ce premier groupe, c'est-à-dire possédera ce caractère que le rapport du nombre des parties pile au nombre des parties face sera compris entre 0,996 et 1,004. Les conclusions auxquelles aboutit l'application des méthodes statistiques à l'étude des problèmes de la théorie cinétique sont de même nature que la conclusion précédente ; d'ailleurs, en raison du très grand nombre des molécules, ils sont encore plus précis ; quant au sens qu'il faut attribuer aux mots infiniment vraisemblable, nous-ne pouvons que renvoyer à la comparaison du miracle des singes dactylographes.

68. — Lorsque l'on pose sous la forme précédente les problèmes de la mécanique statistique, l'objection dite objection de Loschmidt peut être aisément levée. Cette objection est la suivante. L'application de la théorie cinétique à l'étude des phénomènes thermodynamiques conduit à rendre compte de phénomènes irréversibles, tel que l'établissement de l'équilibre de température entre deux corps mis en contact. Or, la théorie cinétique utilise des phénomènes mécaniques qui sont tous réversibles, c'est-à-dire que les équations qui représentent ces phénomènes ne sont pas modifiées lorsque l'on change le signe du temps. Sous une forme plus concrète, si l'on conçoit qu'à un instant donné, on fasse rebrousser chemin à chaque molécule en lui imprimant une vitesse exactement opposée à sa vitesse actuelle, tout se passera comme si, le mouvement ayant été cinématographie, on projetait le film à l'envers, en commençant par les portions les plus récentes. Il n'est donc pas possible, objecte Loschmidt, d'expliquer par un tel mécanisme réversible des phénomènes irréversibles. Cette objection tombe lorsque l'on s'est bien rendu compte du caractère nécessairement statistique des explications mécaniques; on ne cherche pas à déterminer l'allure rigoureusement définie des phénomènes mécaniques moléculaires, mais l'allure la plus probable parmi toutes les allures possibles; cette indétermination de l'avenir est le principe même de la mécanique statistique; mais on ne saurait parler d'indétermination du passé, et c'est pourquoi la distinction entre le passé et l'avenir, c'est- à-dire la dissymétrie du principe de Carnot en ce qui concerne le signe du temps, n'est pas contradictoire avec une explication mécanique des faits thermodynamiques. Nous reviendrons plus loin (ch. x) sur la discussion de la théorie de l'irréversibilité.

Chapter X, The Philosophical Importance of Chance, section 116, pp.302-304
Je voudrais dire ici quelques mots des remarques de Boltzmann sur l'application du deuxième principe à l'univers. Comme le dit fort justement Boltzmann, «assurément personne ne prendra de telles spéculations pour d'importantes découvertes, ni pour le but le plus élevé de la science, comme le faisaient les anciens philosophes. Mais il n'est pas certain qu'il soit juste de les tourner en dérision et de les regarder comme. tout à fait oiseuses». Boltzmann développe une conception mécanique de l'univers, dans laquelle il se produit, çà et là, des passages d'un état plus probable à un état moins probable, de sorte que, pour l'univers entier, l'irréversibilité n'existe pas. Cette conception est rigoureuse au point de vue abstrait si l'univers est un système mécanique pouvant être défini par un nombre fini de paramètres dont le champ total de variation est fini. Admettons, pour un instant, que nous puissions accepter cette image pour l'univers que nous voyons, c'est-à-dire que nous puissions fixer un nombre très grand R, tel qu'il n'y ait jamais rien à l'extérieur de la sphère S de rayon R ; cette sphère S sera notre univers ; l'évolution de cet univers sera, d'après un théorème de Poincaré, aussi voisine que l'on veut d'une évolution pério. dique et, dans des périodes immensément longues, les phénomènes en contradiction avec le second principe y seront aussi fréquents que les phénomènes en accord avec ce principe. En laissant même de côté les difficultés — cependant à mon avis insurmontables — entraînés par l'hypothèse que rien ne sort de la sphère S, il faut observer que la conclusion n'est rigoureuse qu'autant que nous supposons absolue l'inexistence de toute action extérieure à S. Imaginons, avec O. Chwolson I, une sphère S, dont les dimensions par rapport à S seraient celles de S par rapport à un atome, puis une sphère S. qui serait à S, ce que S, est à S, et ainsi de suite jusqu'à une sphère S„ dont l'indice n serait égal à un million. Pour que l'application à S de la théorie mécanique de la quasi-périodicité due à Poincaré fût légitime, il faudrait que nous fussions assurés qu'il n'y a pas, aux confins de S,,, quelque univers St de mêmes dimensions que S bien que probablement très différent de S et pouvant, dans le cours des temps, agir sur S. Car la durée des temps nécessaires pour l'application du théorème de Poincaré est tellement longue qu'une rencontre de S avec S' serait infiniment probable, bien avant que ces temps fussent écoulés. Ceci revient à dire qu'il est au moins aussi vraisemblable de supposer que les lois de notre univers seront complètement modifiées par une combinaison avec un autre univers (actuellement infiniment plus éloigné de lui qu'un atome situé sur la Terre n'est éloigné d'un atome situé sur Sirius) que de supposer un changement de sens appréciable dans la variation de l'entropie.

En d'autres termes, l'évolution régulière vers des états de plus en plus probables me paraît, contrairement à la conception de Boltzmann, devoir être admise pour l'univers entier, du moment qu'on ne le regarde pas comme un système fini isolé pour toujours dans une portion finie de l'espace, de laquelle rien ne peut sortir, ni matière, ni énergie, ni rayonnement et dans laquelle rien ne peut entrer.1

Rough translation
Chapter VI, The Physical Sciences, sections 67 & 68, pp.178-182
We seek to evaluate, starting from Newton's law of gravitation, the deviation of a molecule, between two collisions, caused by the displacement of a mass extremely small located at a great distance. Under the action of gravity a heavy body falls in one second five meters, in 10 -10 seconds, it will fall by an amount 10 -20 times smaller; if, instead of the earth, we consider a small concentric sphere with the same density and whose linear dimensions are 10 17 times lower (the circumference of a great circle is 4 ten -millionths of a millimeter instead of 40 million meters), the mass of the sphere being 10 51 times lower than that of the earth, the deviation would be even smaller, 10 20 X 10 51 = 10 71 times smaller. Now this tiny ship in the sphere beyond the ends of the visible universe, at a point where light takes billions of years to reach us, instead she would one-fiftieth of a second to come from the center of the earth, the distance being about 10 18 times bigger, the attraction becomes 10 36 times lower, the final deviation is 10 26 X 71 X 10 = 10 107 times lower. Finally, in a similar calculation that I omit, the value of the deviation would correspond, either to the action of the tiny sphere placed at the prodigious distance, or the simple effect of moving a millionth of millimeter in the position of such a sphere that far.

Even in accumulating the assumptions likely to make the action as low as possible, we can not even divide the deviation by 10200, that is to say that the changes produced by such an action in the path of a molecule are colossally large compared to what has been necessary for our argument: The representation of a gaseous mass with a single model, consisting of molecules whose positions and velocities at a given time are rigorously determined, is pure abstract fiction; it can not be closer to reality than imagining a stack of models, that is to say, by assigning to the initial data some uncertainty. So weak as this uncertainty, however small one supposes the uncertainty of external forces, the effect of collisions quickly disperses the beams trajectories assumed infinitely thin strokes and the problem of subsequent movement of molecules is in a very short of seconds, very indeterminate, in that a huge number of different possibilities are great a priori equally probable. Of course, in a moment, today, only one of these possibilities is realized, but the uncertainty is reborn as great as soon as it is the problem of the state at a future time, even very close. The only form in which the problem can be posed and solved is the statistical form: the large number of possible contingencies can be separated. into two very unequal groups, all those gathered in the largest group with certain common characteristics? Thus if we consider all possible contingencies for the state of a billion parts of heads or tails, it can be a first group with the case where the deveiationis less than 1,000,000, where the number of games won is between 499,000,000 and 501,000,000, a second group with all other cases. The first group is extremely larger than the first, it is highly probable that the event will be achieved is up to the first group, that is to say that this character will have the ratio of the number of parts battery parts face will be between 0.996 and 1.004. The conclusions reached by the application of statistical methods to the study of problems of the kinetic theory are similar in nature to the previous conclusion, and indeed because of the large number of molecules, they are even more precise about the meaning to be attributed to the highly probable words, we can only refer to the comparison of the miracle of monkeys typing.

68. - When looking, as we have been, at the problems of statistical mechanics, the objection called the Loschmidt objection can easily be lifted. This objection is the following. The application of kinetic theory to the study of thermodynamic phenomena led to the account of irreversible phenomena, such as the establishment of temperature equilibrium between two bodies in contact. However, the kinetic theory uses mechanical phenomena that are all reversible, that is to say that the equations that represent these phenomena are not modified when changing the sign of the time. To be more concrete, if we think, at a given instant, that we could reverse each molecule by giving it a velocity exactly opposite to its current speed, everything happens as if we are projecting a film in reverse, starting with the most recent portions. It is thus not possible, Loschmidt objected, to explain irreversible phenomena by means of a reversible mechanism. This objection falls when one has fully realized the necessarily statistical mechanical explanations; there is no attempt to determine rigourously strictly defined molecular mechanical phenomena, but to consider the most likely among all possible motions; this indeterminacy of the future is the very principle of statistical mechanics; but we can not speak of indeterminacy of the past, so the distinction between the past and the future, that is to say, the asymmetry of Carnot's principle regarding the sign of the time, does not contradict a mechanical explanation of the facts of thermodynamics. We will return later (ch. X) to the discussion of the theory of irreversibility.

Chapter X, The Philosophical Importance of Chance, section 116, pp.302-304
I would like to say a few words about Boltzmann's remarks on the implementation of the second law of the universe. As Boltzmann rightly said, "surely no one will speculate about such important discoveries, nor about the highest goal of science, as did the ancient philosophers. But it is not certain that it would be just to turn in derision and to look at them as useless." Boltzmann developed a mechanical conception of the universe, in which there occurs here and there, passages from a state more probable to a state less probable, so that, for the whole universe, irreversibility does not exist. This conception is rigorous in the abstract if the universe is a mechanical system which can be defined by a finite number of parameters, and the total field of variation is finite. Assume for a moment, we can accept this image for the world we see, that is to say that we can fix a very large number R, such that there is nothing outside the sphere S of radius R, the sphere S is our universe; the evolution of this universe is, according to a theorem of Poincaré, as close as we want to a periodic evolution and in immensely long periods, phenomena contradict the second law will be as common as the phenomena in accordance with this law. Even leaving aside the difficulties - but I believe insurmountable - implied by the assumption that nothing leaves the sphere S, it must be noted that the conclusion is rigorous only so long as we assume the absolute absence of any external action on S. Imagine a sphere S2, whose dimensions relative to S are like those of S relative to an atom, and then a sphere S3 that would be to S2, as S2 is to S, and so on until a sphere Sn with the index n equal to one million. In order for the application to S of Poincaré's quasi-periodic mechanical theory to be legitimate, it would be necesary that there is not, within the sphere Sn, some universe S' of the same size as S and likely very different from S which can, in the course of time, act on S. For the length of time required for the application Poincaré's theorem is so long that a meeting of S with S' would be highly probable, well before this time had elapsed. That is to say that it is at least as plausible to assume that the laws of our universe will be completely changed by a combination with another universe (now much farther from ours than an atom located on the Earth is far from an atom located on Sirius) to assume that a significant change of direction in the change of entropy.

Borel knows that no system is ever completely isolated from the rest of the universe
In other words, I think that the regular evolution towards states more and more probable must be allowed for the entire universe, contrary to the concept of Boltzmann, as long as we do not look like a finite system isolated forever in a finite portion of space from which nothing can escape, neither matter nor energy or radiation and into which nothing can enter.
Infinite Monkeys Typing, from chapter VI, The Physical Sciences, section 62, pp. 164-165
62. — Concevons qu'on ait dressé un million de singes à frapper au hasard sur les touches d'une machine à écrire et que, sous la surveillance de contremaîtres illettrés, ces singes dactylographes travaillent avec ardeur dix heures par jour avec un million de machines à écrire de types variés. Les contremaîtres illettrés rassembleraient les feuilles noircies et les relieraient en volumes. Et au bout d'un an, ces volumes se trouveraient renfermer la copie exacte des livres de toute nature et de toutes langues conservés dans les plus riches bibliothèques du monde. Telle est la probabilité pour qu'il se produise pendant un instant très court, dans le récipient A, un écart de l'ordre du cent millième dans la composition du mélange gazeux. Supposer que cet écart ainsi produit subsistera pendant quelques secondes revient à admettre que, pendant plusieurs années, notre armée de singes dactylographes, travaillant toujours dans les mêmes conditions, fournira chaque jour la copie exacte de tous les imprimés, livres et journaux, qui paraîtront le jour correspondant de la semaine suivante sur toute la surface du globe et de toutes les paroles qui seront prononcées par tous les hommes en ce même jour. Il est plus simple de dire que ces écarts improbables sont purement impossibles.

Conceive that we have prepared a million monkeys randomly hitting keys on a typewriter and that, under the supervision of illiterate foremen, these monkeys work hard typing ten hours a day with a million typewriters of various types. Illiterate foremen would gather the typed blackened and link them in volumes. After a year, these volumes contain an exact copy from books of all kinds and of all languages ​​stored in the richest libraries in the world. This is the probability that occurs during a very short time, in the container A, a deviation of about one hundred thousandth of the composition of the gas mixture. Assume that the deviation thus produced will remain for a few seconds is an admission that, for many years, our army of monkeys typing, working always in the same way every day, will supply an exact copy of all printed books and newspapers, which appear on corresponding day of the following week over the entire surface of the earth, including all the words to be uttered by all men on that day. It is easier to say that these differences are unlikely, purely impossible.

Chapter 1.5 - The Philosophers Chapter 2.1 - The Problem of Knowledge
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